Comparando Triángulos
Congruencia: Más de lo que encuentra el ojo. A veces pensamos que dos figuras son congruentes porque parecen copias exactas, pero no siempre podemos confiar en nuestros ojos. En geometría, es importante ser preciso; decimos que dos figuras son congruentes si podemos obtener una con conbinaciónes de reflexiónes, translaciónes, y rotaciónes de la otra.
Lorna piensa que ella ha creado dos rectángulos congruentes dentro de un cuadrado.
Sin embargo, conque ella sabía que figuras pueden parecer copias exactas cuando no lo son, ella decidió investigar más. Ella dobló su papel para ver si el rectángulo de arriba se podia reflexionar sobre el de abajo. Si los rectángulos son congruentes, uno de ellos cubrirá el otro exactamente. Cuando ella dobló el papel, eso no pasó! Los rectángulos parecían congruentes pero no lo éran!
Lorna decidió crear dos triángulos congruentes dentro del cuadrado. Dibujó una de las diagonales del cuadrado y exclamó, “Tengo dos triángulos isósceles que son congruentes!”
Ella recordó que tenía de asegurarse de que las figures sean realmente congruentes. Dobló el cuadrado en la diagonal y se dió cuenta que los triángulos cabían exactamente uno sobre el otro—éran congruentes porque uno era la reflexión del otro!
1. Ahora te toca a tí comparar figuras. Empieza con un papel rectángulo que no sea cuadrado, y asegúrate que és diferente que el rectángulo de tu vecino. Dobla el papel poniendo el punto A sobre el punto C como se vé en este diagrama.
a) Como se vé aqui, tu también verás algunos triángulos con tu papel. Con un marcador, traza los triángulos. ¿Cuantos encontrastes?
b) Compara los triángulos ∆EDC y ∆FGC en tu papel. ¿Como se parecen?
c) Tu vecino dobló un rectángulo diferente. Pregúntale lo que encontró. ¿Qué discubrió tu vecino sobre los triángulos ∆EDC y ∆FGC?
d) Julio piensa que los dos triángulos son congruentes, pero no sabe cómo probarlo. Ayuda a Julio demonstrar congruencia. Recuerdate de lo que pensó Lorna sobre congruencia-- dos figuras son congruentes si podemos obtener una con conbinaciónes de reflexiónes, translaciónes, y rotaciónes de la otra. Ayuda a Julio obtener el triángulo ∆EDC a base de reflexiónes, translaciónes, o rotaciónes del triángulo ∆FGC.
e) Mira el triángulo ∆CEF en nuestro diagrama. ¿Qué crées que és especial de este triángulo? Compara este triángulo en tu papel con el de tu vecino. ¿Qué notas?
2. Investiga y ayuda a Morgana. Morgana está empezando un pequeño negocio, haciendo y vendiendo materiales de geometría. Ella quiere tu consejo sobre un producto nuevo, papel isósceles para doblar.
Ella te dice: “Quiero vender papel que produce dos triángulos isósceles y congruentes. O sea, cuando uno dobla el punto A sobre el punto C, los triángulos que resultan, ∆EDC y ∆FGC, son isósceles y congruentes. No todos los papeles de forma rectángular producen esta clase de triángulos. Ayúdame a encontrar tres rectángulos de tamaños diferentes que créan una pareja de triángulos isósceles.”
Tu tarea es encontrar tres rectángulos de tamaños diferentes para Morgana. Pega los tres rectángulos con este papel y escribe una nota (de uno o dos párrafos) explicando:
- cómo sabes que cada papel crea dos triángulos que son isósceles y congruentes
- cómo encontrastes los tres papeles rectángulares
- dos cosas importantes que descubristes hiciendo esta investigación
3. Explora un poco más. Empieza con otro papel rectángular que no sea un cuadrado.
a) Esta vez, dobla el papel poniendo el punto A sobre algún lugar en el lado . Doblando así se crean tres triángulos rectos. ¿Qué más notas sobre estos triángulos?
b) Desliza el punto A por el lado (not showing up on Word file) y dobla el papel poniendo el punto A en otra locación. Investiga los triángulos que se crean. Desliza el punto A por el lado (not showing up on Word file) y dobla el papel otra vez. Investiga los triángulos que se crean. Usa el gráfico abajo para anotar tus observaciónes.
c) ¿Si usas papeles de tamaños diferentes, crées que notarías lo mismo? Explica tu respuesta.