Dilatando Figuras
Un “stretcher” es una banda elástica que se ha cortado y atado, creando un nudo en el medio. Un stretcher tambien tiene dos puntos, uno en cada lado del nudo y a la misma distancia del nudo—en este caso, los puntos están a dos pulgadas del nudo.
En los problemas siguientes, usarás un stretcher para crear una nueva versión de un triángulo dado. Esta nueva versión se llama una dilatación del triángulo original. Los stretchers son herramientas que pueden ayudar a crear dilataciones de cualquier figura.
- Sigue estas direcciones para crear la dilatación del ∆ABC en el papel cuadriculado #1 y así hallar los puntos D, E, F del nuevo triángulo. Llamaremos a este triángulo dilatado: ∆DEF.
a. Coloca tu stretcher de tal forma que uno de los dos puntos quede encima del punto P.
b. Estira la otra punta del stretcher colocando el nudo encima del punto A en el triángulo original. (Asegúrate que el primer punto todavía está directamente encima del punto P). Ahora, marca en el papel el sitio donde está el segundo punto del stretcher. Llama a este nuevo punto D.
c. Repite este proceso pero esta vez coloca el stretcher con el nudo sobre el punto B del triángulo original. Usa el segundo punto del stretcher para ayudarte a localizar el punto E del nuevo triángulo.
d. Repite este proceso una vez más, poniendo el nudo sobre el punto C para localizar la posición del punto F del nuevo triángulo.
e. Usa algún material recto para conectar los tres vértices (D, E, y F) de tu nuevo triángulo.
2. Compara el triángulo original (∆ABC) con su dilatación (∆DEF).
a. ¿En qué se parecen los ∆DEF y ∆ABC? (escribe dos o tres formas que describan en forma matemática en que se parecen los triángulos)
b. ¿De qué manera son los triángulos ∆DEF y ∆ABC diferentes? (describe dos o tres diferencias matemáticas).
c. En el cuadriculado #1, dibuja segmentos de línea que representen las distancias desde el nudo hasta cada punto en las tres posiciones diferentes en que pusiste el stretcher. Por ejemplo, dibuja un segmento de línea del punto P al punto B, y otro del punto B al punto E. Haz esto con cada uno de los tres vértices del triángulo original y los del dilatado.
d. Compara la longitud del segmento PA con la longitud del segmento AD. Haz lo mismo para los segmentos PB y BE. Ahora, repite lo mismo para los segmentos PC y CF. ¿Qué notas acerca de la relación entre las longitudes?
3. En el cuadriculado #1, dibuja un punto nuevo cuatro espacios abajo del punto P y llámalo P2. Sin usar el stretcher, haz una predicción de cómo se verá la dilatación del ∆ABC y dónde estará localizada en el papel cuadriculado cuando usas P2 en vez de P para crear la dilatación del triángulo original.
a. Usa un lápiz o un marcador de color diferente y dibuja el triángulo donde crees que va a quedar en el papel cuadriculado (¡Pero no uses el stretcher!).
b. ¿Cómo decidiste dónde dibujar el triángulo dilatado? ¿Cómo supiste la forma que tendría el triángulo dilatado? Describe lo que estabas pensando cuando estabas haciendo tu predicción.
c. Verifica tu predicción. Usa el punto P2 y tu stretcher para crear la dilatación del triángulo ABC. Usa un lápiz o un marcador de color diferente para dibujar este triángulo. ¿Hiciste una predicción correcta? Explica como sabes que estaba correcta o no.
4. Revisa el archivo “dilations.gsp” del Geometer’s Sketchpad que se encuentra dentro del CD de “Fostering Geometric Thinking”1. En este archivo, ∆DEF es la dilatación de ∆ABC usando el punto P como el centro de dilatación. Mueve el punto P a diferentes lugares en el cuadriculado y explora que pasa con el triángulo dilatado (∆DEF).
a. ¿Qué notas?
b. Qué preguntas te vienen a la mente (o se te ocurren)?
5. Vuelve al cuadriculado #1 y dibuja un tercer punto tres espacios en la derecha de P. Llama este punto P3. Sin usar el applet o tu stretcher, construye la dilatación de ∆ABC cuando P3 es el centro de dilatación. Usa un lápiz o marcador de otro color diferente para dibujar este triángulo. ¿Cómo decidiste dónde poner el triángulo dilatado en el cuadriculado?
6. Maria dibujó el triángulo que se muestra en el papel cuadriculado #2 usando un stretcher como el tuyo. Alguién borró su triángulo original. Sin usar el stretcher, reconstruye su triángulo original en el papel cuadriculado #2. Describe como supiste la forma que debería haber tenido el triángulo original y en donde debía haber estado colocado en el cuadriculado #2.
7. Aquí hay un dibujo de el tipo de stretcher que has estado usando.
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Punto izquierdo nudo punto derecho
Probablemente te has dado cuenta de que este stretcher dobla las longitudes de cada lado de triángulos como el ∆ABC. O sea, lo podríamos llamar un stretcher-de-dos. Imagina que quieres construir un stretcher-de-tres—esto quiere decir un stretcher que triplique las longitudes de los lados del ∆ABC. ¿Dónde pondrías el punto derecho por un stretcher-de-tres? Explica.
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punto izquierdo nudo punto derecho para un strecher-de-dos
¿Dónde pondrías el punto derecho de un stretcher-de-½? Explica.
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Punto izquierdo nudo punto derecho para un stretcher-de-dos